CILJ KOLEGIJA: U prvom dijelu kolegija osnovni cilj je sustavno obraditi pojmove kao što su prebrojivost i neprebrojivost, te pojmove vezane uz uređene skupove. Također, cilj je i motivirati uvođenje aksiomatskog pristupa. U drugom dijelu kolegija glavni cilj je u okviru aksiomatske teorije skupova (Zermelo-Fraenkelove teorije skupova, tj. ZF teorije) obraditi pojmove ordinalnog i kardinalnog broja, te naglasiti važnost aksioma izbora. Kao motivacija za definiciju ordinalnih brojeva daje se definicija prirodnih brojeva u ZF teoriji (a onda se definiraju i skupovi cijelih, racionalnih i realnih brojeva).
NASTAVNI SADRŽAJI:
I. Naivna teorija skupova
1. Uvod. Povijest. Princip ekstenzionalnosti. Princip komprehenzije. Russelov paradoks. Aksiom izbora. Ideja kumulativne hijerarhije. Aksiom praznog skupa i para. Uređeni par. Definicija relacije i funkcije. Aksiomi unije i partititvnog skupa.
2. Ekvipotentni skupovi. Konačni i beskonačni skupovi. Prebrojivi skupovi.
3. Prebrojiva unija prebrojivih skupova je prebrojiv skup (primjena aksioma izbora). Skup racionalnih brojeva je prebrojiv. Svaki beskonačni skup sadrži prebrojiv podskup (primjena aksioma izbora).
4. Neprebrojivi skupovi. Skup realnih brojeva je neprebrojiv. Kardinalni brojevi (naivni pristup). Osnovni Cantorov teorem teorije skupova. Aritmetika kardinalnih brojeva.
5. Knaster, Tarskijev teorem o fiksnoj točki. Cantor, Bernstein, Schröderov teorem.
6. Binarne relacije: refleksivne, irefleksivne, simetrične, antisimetrične i tranzitivne. Relacija ekvivalencije. Parcijalno uređeni skupovi. Usporedivi elementi, lanac, maksimalni i minimalni element, najveći i najmanji element, gornja međa, donja međa, supremum i infimum. Linearno uređeni skup. Funkcije koje čuvaju uređaj. Teorem o fiksnoj točki. Sličnost.
7. Gusti parcijalno uređeni skupovi. Rez. Neprekidnost u Dedekindovom smislu. Separabilnost. Uređajne karakteristike skupova Q i R.
8. Dobro uređeni skupovi. Osnovna svojstva dobro uređenih skupova. Princip transfinitne indukcije. Usporedivost dobro uređenih skupova. Aksiom dobre utemeljenosti.
II. Aksiomatska teorija skupova
9. Skup prirodnih brojeva: induktivan skup, prirodan broj, aksiom beskonačnosti, shema aksioma separacije. Aksiom matematičke indukcije. Tranzitivni skupovi. Osnovna svojstva. Svaki prirodan broj je tranzitivan skup. Uređaj među prirodnim brojevima. Dedekindov teorem rekurzije.
10. Uvođenje skupova brojeva: cijeli, racionalni i realni brojevi. Von Neumannova definicija ordinala.
11. Osnovna svojstva ordinalnih brojeva. Teorem enumeracije.
12. Uređaj na ordinalnim brojevima. Ordinalni brojevi prve i druge vrste. Teorem rekurzije. Zbrajanje i množenje ordinalnih brojeva. Teorem o oduzimanju. Teorem o dijeljenju s ostatkom.
13. Potenciranje ordinalnih brojeva. Teorem o logaritamskom algoritmu. Teorem o normalnoj formi za ordinalne brojeve. Cantorova normalna forma. Goodsteinov teorem.
14. Kardinalni brojevi. Aritmetičke operacije i uređaj na kardinalnim brojevima. Königov teorem. Nedostiživi kardinalni brojevi. Alefi. Shema aksioma zamjene.
15. Aksiom izbora. Kartezijev produkt. Russelov multiplikativni aksiom. Zornova lema. Hausdorffov princip maksimalnosti. Teichmüller - Tukeyova lema. Zermelov teorem. Hartogsov teorem. Dokaz jednostavnijih ekvivalencija. Banach, Tarskijev paradoks.
|
Pristupačnost
