Doctoral Probability Seminar

This is an informal probability seminar with a porpose of giving PhD students and postdoctoral researshers a platform to talk about their research, exchange ideas and colaborate with other early carrer researchers. The big emphasess is on all the talks to be very clear and well explained so that even a first year PhD students can follow them and contribute with their questions and comments.

If you wish to pariticipate in or give a talk at the seminar contact Ivana Valentić at ivana.valentic@math.hr.


Talks


Abstracts

Neprekinutost preslikavanja dijametralnog segmenta

U ovom predavanju istražujemo metrike za kvantifikaciju udaljenosti između podskupova metričkog prostora, s naglaskom na prostor konveksnih i kompaktnih poligona u Euklidskoj ravnini. Iako Hausdorffova metrika često služi kao standardni okvir za mjerenje udaljenosti, ovaj rad se posvećuje identifikaciji i ispitivanju alternativnih metričkih kandidata posebno prilagođenih ovim poligonalnim strukturama. U posebnom slučaju poligona čiji je dijametar jedinstven i postiže se na određenom segmentu, pokazujemo neprekinutost preslikavanja dijametralnog segmenta u kontekstu Hausdorffove metrike. Ovaj uvid otvara nove perspektive za razumijevanje metričkih i topoloških svojstava kompaktnih i konveksnih podskupova Euklidske ravnine.

Kratki vodič za regularnu varijaciju

Uvest ćemo pojmove skaliranja, bornologije i modulusa na topološkom prostoru i opisati na koji način regularna varijacija ovisi o definiciji skaliranja, bornologije i modulusa. Navest ćemo nekoliko primjera i ilustrirati na njima. Definirat ćemo vague konvergenciju i regularnu varijaciju na Poljskim prostorima te pokazati nekoliko primjera regularno varirajućih elemenata u konkretnim bornologijama.

Kombinatorne kocke u ravnini

Proučavat ćemo problem pronalaska vrhova velikih dilatata grafova koji su 1-kosturi jedinične n-hiperkocke u skupu strogo pozitivne gornje Banachove gustoće. Slični problemi iz geometrijske teorije mjere su poopćenja Székelyjevog pitanja: Može li se u svako izmjerivom skupu pozitivne gustoće uvijek pronaći par točaka dovoljno velike udaljenosti? Između ostalih, pozitivan odgovor na ovo pitanje dao je i J. Bourgain čiji maštoviti pristup vodi do brojnih generalizacija, uključujući i problem kojim ćemo se mi baviti.
 

A dual process for a Wright-Fisher diffusion with pairwise selection and free recombination

Stochastic duality is a fundamental tool in mathematical population genetics. It relates two types of processes: a diffusion modeling genetic frequencies evolving forward in time and a random tree modeling the genealogy of a sample evolving backward in time. In this talk, first we introduce duality by considering the classical Wright-Fisher diffusion and Kingman's coalescent. Then, we focus on a Wright-Fisher diffusion with pairwise selection and free recombination and show how to prove duality, and derive a dual process, by means of a generator approach.

Inference for Diffusions in Genetics

A number of discrete time, finite population size models in genetics describing the dynamics of allele frequencies are known to converge (subject to suitable scaling) to a diffusion process in the infinite population limit, termed the Wright–Fisher diffusion. This diffusion evolves on a bounded interval, so that many standard results in diffusion theory, which assume evolution on the real line, no longer apply. In this talk I present conditions to establish ϑ-uniform ergodicity for a general diffusion taking values in a bounded interval. Using these conditions, we show that the Wright–Fisher diffusion is uniformly in the selection and mutation parameters ergodic, and that the measures induced by the solution to the stochastic differential equation are uniformly locally asymptotically normal. Subsequently these two results are used to analyse the statistical properties of the Maximum Likelihood and Bayesian estimators for the selection parameter, when both selection and mutation are acting on the population. In particular, it is shown that these estimators are uniformly over compact sets consistent, display uniform in the selection parameter asymptotic normality and convergence of moments over compact sets, and are asymptotically efficient for a suitable class of loss functions.

Generalizacija Alon-Yusterovog 123 teorema

U svom članku iz 1995. Alon i Yuster dokazali su, između ostaloga, sljedeći rezultat: ako su X i Y nezavisne jednakodistribuirane (n.j.d.) slučajne varijable, tada vrijedi \mathbb{P}(|X-Y| \leq 2) \leq 3\mathbb{P}(|X-Y| \leq 1), pri čemu je konstanta 3 najbolja moguća. Mi ćemo dokazati generalizaciju ovog rezultata, u sljedećem obliku. Neka je (M, d) separabilan metrički prostor te neka su b > a > 0 realni brojevi. Definiramo C(M; a, b) kao najmanju konstantu c \in [0,+\infty] za koju vrijedi \mathbb{P}(d(X,Y) \leq b) \leq c\mathbb{P}(d(X,Y) \leq a) za sve n.j.d. slučajne elemente X i Y s vrijednostima u (M, \mathcal{B}(M)). Naš rezultat karakterizira konstantu C(M;a,b) preko svojstvenih vrijednosti grafova koji se mogu na određeni način metrički uložiti u M. Također, pokazat ćemo kako se iz toga mogu izvesti neki od originalnih rezultata Alona i Yustera te predstaviti neke daljnje primjene.

Od difuzije, preko sistema međudjelovanja čestica do McKean-Vlasovljevih procesa

U ovom preglednom predavanju objasnit ćemo što predstavljanju modeli procesa difuzija i kako se poopćuju do modela gdje čestice imaju neko ljubavno međudjelovanje pa sve do vrlo općenitog tipa modela koje nazivamo McKean-Vlasovljevim modelima. Osim ideje, nabrojat ćemo i osnovna svojstva tih modela, kao i glavne razlike među njima te izazove koji se pojavljuju prilikom analize.

Lokalno vrijeme

Poznato je da je Lebesgueova mjera vremena koje Brownovo gibanje (BG) provede u ishodištu jednaka nuli. Znači li to da ne možemo mjeriti vrijeme koje BG provede u jednoj točki? Ideja lokalnog vremena odgovara na to pitanje, a potječe od Levyja koji ju je razvio za BG. U ovom preglednom seminaru motivirat ćemo definiciju i proći kroz glavna svojstva lokalnog vremena. Objasnit ćemo kako se definicija može proširiti na širu klasu procesa i komentirati primjene u teoriji ekskurzija.

Frakcionalni Besselov proces

Frakcionalni Besselov proces definiramo kao vremenski promijenjeni Besselov proces (s konstantnim driftom) putem inverza alfa stabilnog subordinatora za kojeg pretpostavljamo da je nezavisan od originalnog Besselovog procesa. Koristeći postojeće spektralne rezultate originalnog (vremenski nepromjenjenog) Besselovog procesa dokazujemo razna analitička i vjerojatnosna svojstva frakcionalnog Besselovog procesa. Ilustrirat ćemo potencijalnu primjenu u teoriji redova čekanja i matematičkim financijama.

O teoriji obnavljanja za procese s klasterima

Koristeći teoriju točkovnih procesa, prezentirat ćemo osnovne teoreme teorije obnavljanja. U primjenama je proces obnavljanja često nedostatan, stoga uvodimo pojam procesa obnavljanja s klasterima. Pokazat ćemo da se, uz blage pretpostavke, osnovni teoremi teorije obnavljanja mogu proširiti na procese s klasterima čak i kada dopuštamo zavisnost između koraka pozadinskog procesa obnavljanja i oblika klastera.

Aproksimativni procjenitelj maksimalne vjerodostojnosti parametra drifta u višedimenzionalnom difuzijskom modelu

Uz fiksni $T>0$ i $k \geq 2$ promatramo $k$-dimenzionalnu stohastičku diferencijalnu jednadžbu $dX_t=\mu(X_t, \theta)\,dt+\nu(X_t)\sigma\,dW_t,$ na vremenskom intervalu $[0,T]$ pri čemu pretpostavljamo da je matrica $\sigma$ poznata, a parametar drifta $\theta$ je nepoznat. Općenito, funkcija drifta $\mu$ nelinearno ovisi o $\theta$. Jedan od glavnih rezultata je da razlika aproksimativnog procjenitelja maksimalne vjerodostojnosti $\overline{\theta}_n$ dobivenog na temelju diskretnih opservacija $(X_{i\Delta_n}, 0 \leq i \leq n)$ i procjenitelja maksimalne vjerodostojnosti $\hat{\theta}_T$ dobivenog na temelju neprekidnih opservacija $(X_t, 0\leq t\leq T)$, kad $\Delta_n=T/n$ konvergira u 0, konvergira stabilno po distribuciji k slučajnom vektoru koji ima miješanu normalnu distribuciju s kovarijacijskom matricom koja ovisi o $\hat{\theta}_T$ i $(X_t, 0 \leq t\leq T)$. Ispravnost dobivenog rezultata potvrđena je simulacijama na primjeru Hestonovog modela koji se često pojavljuje u financijama.

When is the convex hull of a Lévy path smooth?

We characterise, in terms of their transition laws, the class of one-dimensional Lévy processes whose graph has a continuously differentiable (planar) convex hull. We show that this phenomenon is exhibited by a broad class of infinite variation Lévy processes and depends subtly on the behaviour of the Lévy measure at zero. We introduce a class of strongly eroded Lévy processes, whose Dini derivatives vanish at every local minimum of the trajectory for all perturbations with a linear drift, and prove that these are precisely the processes with smooth convex hulls. We study how the smoothness of the convex hull can break and construct examples exhibiting a variety of smooth/non-smooth behaviours. Finally, we conjecture that an infinite variation Lévy process is either strongly eroded or abrupt, a claim implied by Vigon’s point-hitting conjecture. In the finite variation case, we characterise the points of smoothness of the hull in terms of the Lévy measure.

CGT za opseg konveksne ljuske razapete s dvije nezavisne slučajne šetnje u ravnini

U ovom seminaru ograničavamo se na R^2 te promatramo dvije nezavisne slučajne šetnje s linearno nezavisnim vektorima drifta. Ako s L_n označimo opseg razapete konveksne ljuske do trenutka n, pokazujemo da tada 1/\sqrt{n}(L_n - E(L_n)) konvergira po distribuciji prema N(0, \sigma^2) gdje konstantu sigma^2 > 0 možemo eksplicitno izraziti. U konačnici, ideja je proširiti ovu ideju na više šetnji u više dimenzija i za ostale intrinzične volumene.

Efikasno računanje kreditnog rizika suprotne ugovorne strane:

Za razliku od organizirane burze gdje neovisna treća strana brine o namiri trgovanja, pri izvanburzovnom trgovanju financijskim izvedenicama pojavljuje se rizik da suprotna strana nije u mogućnosti podmiriti ugovorene obveze. Zbog veličine izvanburzovnog tržista izvedenica, te zbog njegovih nedostataka istaknutih tijekom krize 2008. godine, taj se rizik danas smatra jednim od ključnih rizika globalnog financijskog sustava. U ovom predavanju opisat ćemo pojavu rizika suprotne strane u širem ekonomskom kontekstu, formalizirati izazove koje predstavlja njegovo računanje, te predložiti pristup njihovom ublažavanju temeljen na aproksimaciji funkcija. Predstavit ćemo teorijsku analizu greške predloženog pristupa i numeričke rezultate za nekoliko poznatih stohastičkih modela financijske matematike.

Traženje uzorka u velikim skupovima:

Osvrnut ćemo se na aktualne rezultate motivirane Szemerédijevim teoremom i Euklidovim teoremima gustoće. Premda su u pitanju kombinatorni i geometrijski problemi, poseban naglasak dat ćemo na pristupu s alatima koji pripadaju grani harmonijske analize.

Regime-switching diffusions:

In this talk, we define and discuss interesting properities of regime-switching diffusion processes.

Generalizirani Gaussovi modeli za modeliranje EEG prirasta:

Elektroencefalografija (EEG) je metoda kojom se mjeri električna aktivnost mozga. Analiza EEG signala pokazala je da stohastičko modeliranje prirasta takvog signala može doprinijeti boljem predviđanju neurokognitivnog ishoda oporavka djeca koja su uslijed cerebralne malarije završila u komi. Za potrebe ove analize, prirasti EEG signala modelirani su pomoću generalizirane Gaussove distribucije s parametrizacijom koja također uključuje i teške repove. U tom slučaju, repni indeks procijenjen je pomoću empirijske funkcije skaliranja. Dobivene vrijednosti procjenitelja korištene su kao mogući prediktori neurokognitivnog ishoda djece koja su se oporavila od kome. Kao proširenje dosadašnje analize, istražuju se i miješani generalizirani Gaussovi modeli prikladni za uočene multimodalne distribucije.

Geometrijski pristup konstrukciji Wright-Fisher difuzija:

Wright-Fisherove(WF) difuzije su procesi koji se koriste za modeliranje širenja gena u populaciji. Objasnit ćemo kako se određene pojave u prirodi kao što su mutacija gena i selektivna predonst koju određeni geni mogu imati odražavaju u stohastičko diferencijalnim jednadžbama koje ovi procesi zadovoljavaju. Pokazat ćemo neočekivanu vezu između WF difuzija i Brownovog gibanja na sferi, te objasniti kako promjena geometrijskih svojstava procesa na manifoldu može dovesti do konstrukcije generalnije WF difuzije.

Semilinearne jednadžbe i subordinirano ubijeno Brownovo gibanje:

Promatramo semilinearnu jednadžbu Lu(x)=f(x,u(x)) u C^{1,1} ograničenoj domeni, pri čemu je L infinitezimalni generator subordiniranog ubijenog Brownivog gibanja. Jednadžba generalizira dobro analiziranu teoriju kada je oprator L Laplaceov operator (koji je infinitezimalni generator Brownovog gibanja). U izlaganju osvrnut ćemo se na osnovne pojmove vjerojatnosne teorije potencijala koji se koriste u pristupu rješavanja ovakvog tipa jednadžbi.

Maksimum u slučajnim klasterima:

Promatramo maksimum, V_{i=1}^K X_i, od slučajno mnogo članova njd niza (X_j) u specifičnom slučaju zavisnosti: kada je K vrijeme zaustavljanja od (X_i). Pod pretpostavkom da X_1 pripada maksimalnoj domeni atrakcije neke distribucije ekstremnih vrijednosti, navedeni maksimum pripada istoj maksimalnoj domeni atrakcije. Problem se može promatrati i kao konvergencija točkovnih procesa te se može primijeniti za rezultate u označenim klaster procesima obnavljavljanja koji se često javljaju u osiguranjima. Tada maksimum interpretiramo kao najveću štetu u određenom periodu.

Očekivani volumen konveksne ljuske vremensko-prostorne trajektorije Brownovog gibanja:

Promatramo standardno Brownovo gibanje u d-1 dimenzija. Vremensko-prostorna trajektorija tog procesa živi u d-dimenzionalnom prostoru. U ovom predavanju pokazat ćemo zatvorenu formulu za očekivanu vrijednost volumena konveksne ljuske te vremensko-prostorne trajektorije.