1. komponenta

Vrsta nastave	Ukupno
Predavanja na poslijediplomskim studijima	60

* Opterećenje je izraženo u školskim satima (1 školski sat = 45 minuta)

CILJ KOLEGIJA:
Racionalna Diofantova m-torka je skup of m racionalnih brojeva različitih od 0 sa svojstvom da produkt bilo koja dva među njima uvećan za 1 daje kvadrat nekog racionalnog broja. Problem proširenja racionalne Diofantove trojke {a,b,c} do četvorke prirodno vodi do proučavanja eliptičke krivulje y2 = (ax+1)(bx+1)(cx+1). Ova veza Diofantovih m-torki i eliptičkih krivulja se pokazala vrlo plodonosnom. Posebice, nedavno je rezultirala konstrukcijom beskonačnih familija racionalnih Diofantovih šestorki, što je bio otvoreni problem još od vremena kada je Euler dokazao da postoji beskonačno mnogo racionalnih Diofantovih petorki (i njegova konstrukcija ima elegantnu interpretaciju u terminima eliptičkih krivulja). S druge strane, krivulje dobivene pomoću Diofantovih trojki i četvorki korištene su u konstrukciji eliptičkih krivulja sa zadanom torzijskom grupom i velikim rangom, pa su i danas neki od rekordnih rangova za eliptičke krivulje na Q i Q(t) dobiveni upravo tom metodom. U kolegiju će se obraditi spomenute veze eliptičkih krivulja s racionalnim Diofantovim m-torkama, a također i cjelobrojnim Diofantovim m-torkama, gdje se pojavljuju pitanja mogućih torzijskih grupa i cjelobrojnih točakama na takvim krivuljama.

NASTAVNI SADRŽAJI:
Teme koje će se obraditi u ovom kolegiju uključuju: pregled osnovnih rezultata o cjelobrojnim i racionalnim Diofantovim m-torkama; uvod u eliptičke krivulje na poljem racionalnih brojeva; Mordell-Weilova grupa eliptičkih krivulja induciranih s racionalnim Diofantovim trojkama; konstrukcija beskonačnih familija racionalnih Diofantovih petorki i šestorki; općenito o metodama za računanje ranga i konstrukciju eliptičkih krivulja velikog ranga; primjena racionalnih Diofantovih trojki u konstrukciji krivulja velikog ranga nad Q i Q(t) s torzijskim grupama Z/2Z × Z/2Z, Z/2Z × Z/4Z, Z/2Z × Z/6Z i Z/2Z × Z/8Z; eliptičke krivulje ranga 0; moguće torzijske grupe eliptičkih krivulja induciranih cjelobrojnim Diofantovim trojkama; cjelobrojne točke na nekim familijama eliptičkih krivulja; D(q)-m-torke i eliptičke krivulje; jake Diofantove trojke; eliptičke krivulje inducirane racionalnim Diofantovim četvorkama.
Još neke povezane teme bit će obrađene kroz seminarska predavanja studenata.

1. A. Dujella: Teorija brojeva
2. A. Dujella: Number Theory
3. A. Filipin, Z. Franušić: Diofantovi skupovi
4. J. H. Silverman, J. Tate: Rational Points on Elliptic Curves
5. L. C. Washington: Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography

Napredni kolegiji - Redovni Studij - Matematika

Napredni kolegiji - Redovni Studij - Matematika

Napredni kolegiji - Redovni Studij - Matematika

Napredni kolegiji - Redovni Studij - Matematika

Napredni kolegiji - Redovni Studij - Matematika

Napredni kolegiji - Redovni Studij - Matematika