Plohe drugog reda, plohe zadane kao nivo plohe, plohe zadane kao grafovi funkcija

1. Plohe drugog reda

Plohe drugog reda su nivo-plohe polinoma drugog reda te su opisane jednadžbama oblika $$Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+K=0$$ pri čemu je barem jedan od brojeva $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ ili $F$ različit od nule.

Promjenama kooordinata uvijek se mogu eliminirati mješoviti članovi, pa se jednadžba uvijek može svesti na oblik $$Ax^2+By^2+Cz^2+Dx+Ey+Fz+H=0.$$

Postoji devet tipova ploha drugog reda.

Elipsoid

Elipsoid je ploha opisana jednadžbom $$\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1.$$

Jednoplošni hiperboloid

Jednoplošni hiperboloid opisan je jednadžbom $$\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1.$$

Dvoplošni hiperboloid

Dvoplošni hiperboloid opisan je jednadžbom $$\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1.$$

Stožac

Stožac je opisan jednadžbom $$\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2} = z^2.$$

Eliptički paraboloid

Eliptički paraboloid opisan je jednadžbom $$\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2} = z.$$

Hiperbolički paraboloid

Hiperbolički paraboloid opisan je jednadžbom $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = z.$$

Eliptički valjak

Eliptički valjak opisan je jednadžbom $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.$$

Hiperbolički valjak

Hiperbolički valjak opisan je jednadžbom $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1.$$

Parabolički valjak

Parabolički valjak opisan je jednadžbom $$x^2 = 4cy.$$

2. Plohe zadane kao nivo-plohe funkcija $\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$

Ploha je dana kao skup točaka koji zadovoljava jednadžbu $f(x,y,z)=c$.

Neki primjeri kompliciranijih ploha

$f(x,y,z)=x^2-y^3z^3$ kod: x^2-y^3*z^3
$f(x,y,z)=x^2-y^2z$ kod: x^2-y^2*z
$f(x,y,z)=x^2+y^3+z^5$ kod: x^2+y^3+z^5
$f(x,y,z)=x^4+y^4+z^4-(x^2+y^2+z^2)$ kod: x^4+y^4+z^4-(x^2+y^2+z^2)
$f(x,y,z)=x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 - xyz(x+y+z)((x+y+z)^3+4(y-x)(z-y)(x-z))$
kod: x^2*y^2 + y^2*z^2 + z^2*x^2 - x*y*z*(x+y+z)*((x+y+z)^3+4*(y-x)*(z-y)*(x-z))
$f(x,y,z)=4z^4+2(x^2+y^2-4z^2)$ kod: 4*z^4+2*(x^2+y^2-4*z^2)
$f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2-25)^2-((z-5)^2-2x^2)((z+5)^2-2y^2)$
kod: (x^2+y^2+z^2-25)^2-((z-5)^2-2*x^2)*((z+5)^2-2*y^2)
$f(x,y,z)=4(2x^2-y^2)(2y^2-z^2)(2z^2-x^2)-2(x^2+y^2+z^2-1)^2$
kod: 4*(2*x^2-y^2)*(2*y^2-z^2)*(2*z^2-x^2)-2*(x^2+y^2+z^2-1)^2

3. Plohe zadane kao grafovi funkcija $\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$

Ploha je dana kao skup točaka koji zadovoljava jednadžbu $z=f(x,y)$.